Se llama círculo a la superficie plana limitada por la circunferencia.
La circunferencia es el borde y el circulo es el interior de la circunferencia. Todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia del centro.
Elementos de la circunferencia
Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.
Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas
Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.
Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.
Posiciones Relativas de dos circunferencias
Medición de Ángulos y Arcos de Circunferencia
Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.
Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.
El ángulo semi-inscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.
Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.
Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.
Serie de Ejercicios
Sector Circular
Es la porción o región de un circulo comprendida entre dos radios (r) y el arco que subtiende (s).
Longitud de Circunferencia
Donde:
S= Longitud de Arco (cm, m, Km,pulgadas, pie, Mi)
r = Radio (cm, m, Km,pulgadas, pie, Mi)
O= Ángulo (Radianes)
Área de Sector Circular
Ejemplos:
Una rueda tiene 58 centímetros de
diámetro, ¿qué distancia recorre en metros la rueda de la bicicleta cuando ésta
completa 15 revoluciones o vueltas?
Del ejemplo anterior, si la bicicleta recorre 210 metros ¿Cuántas
revoluciones o vueltas ha dado la rueda?
Un
campo de fútbol se riega el pasto con un aspersor que gira las 8 décimas partes
de la circunferencia. Si el agua que riega es uniforme con un alcance de 12 m.
cuál es el área que se riega, que perímetro se tiene del área regada (distancia
alrededor del sector circular).
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el
plano:
Forma Geométrica: Se denomina ángulo
a la amplitud entre dos líneas que concurren en un punto común llamado vértice.
El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el
punto de intersección.
Forma Trigonométrica: es la
amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno a uno
de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una final.
Si la rotación es en sentido contrario a las manecillas del reloj, se considera
positivo. De lo contrario se considera negativo. Este ángulo puede superar el
orden de los 360º a diferencia del ángulo geométrico.
Sistemas de medición:
·Grado Sexagesimal
·Grado Centesimal
·Radian
Convertir
Clasificación de los ángulos
Ángulos formados por dos
rectas paralelas y una secante
Esta
configuración, da a origen a nueva clasificación llamandose:
-ángulos internos: Son 2
ángulos internos no adyacentes, ubicados a un lado distinto de la recta
secante.
Como es el caso de los ángulos: 4 = 6, 3 = 5.
-ángulos extremos: Son 2 ángulos extremos no
adyacente, ubicados a un lado distinto de la recta secante.
Como es el caso de los ángulos: 2 = 8, 1 = 7.
-ángulos opuestos por el vértice: Son
ángulos que poseen en común un vértice y uno de los lados de sus ángulos.
Como es el caso de los ángulos: 2 = 4, 6 = 8, 1 = 3, 5 = 7.
-ángulos correspondientes: Son 2 ángulos no
adyacentes, ubicados en un mismo lado de la secante, pero interno y externo.
Como es el caso de los ángulos: 2 = 6, 1 = 5, 3 = 7, 4 = 8.
-ángulos adyacentes (Suplementarios): Son
aquellos ángulos que poseen un lado en común y unidos suman (180 grados
sexagesimales).
Como es el caso de los ángulos: 6 + 3 = 180, 5 + 4 = 180.
-ángulos colaterales internos (Suplementarios):
Son 2 ángulos internos no adyacentes ubicados a un lado distinto de la recta
secante y unidos suman (180 grados sexagesimales).
Como es el caso de los ángulos: 7 + 2 = 180, 1 + 8 = 180.
-ángulos colaterales externos (Suplementarios):
Son 2 ángulos externos no adyacentes ubicados a un lado distinto de la recta
secante y unidos suman (180 grados sexagesimales).
Como es el caso de los ángulos: 1 + 2 = 180, 2 + 3 = 180, 3 + 4 =
180, 1 + 4 = 180, 5 + 6 = 180, 6 + 7 = 180, 7 + 8 = 180, 5 + 8 = 180.
Serie de Ejercicios
Determina el valor de los ángulos que se muestran en las siguientes figuras:
Congruencia y Semejanza de Triángulos
Congruencia:
Si un triángulo tiene todos sus lados y ángulos respectivamente
iguales a los lados y ángulos del otro, se dice que son: Triángulos congruentes
Semejanza:
Se dice que las figuras geométricas que presentan la misma forma son semejantes, tratándose de triángulos se dice que son semejantes si tienen sus ángulos respectivos iguales y si sus lados correspondientes son proporcionales.
EJERCICIOS Y APLICACIONES DE SEMEJANZA
1. Cuenta la historia que el gran
matemático griego Tales de Mileto midió la altura de las pirámides de Egipto
usando un método muy simple: comparó la sombra de su bastón con la sombra de la
pirámide. Si su bastón medía 1 metro y proyectaba una sombra de 50 cm. ¿cuál es
la altura de una pirámide cuya sombra mide 45 metros? Explica tus cálculos
usando un diagrama.
2. Las dimensiones de una fotografía
son 6,5 cm. por 2,5 cm. Se quiere ampliar de manera que el lado mayor mida 26
cm. ¿Cuánto medirá el lado menor?
3. Un árbol de 3 metros de alto a
una cierta hora genera una sombra de 1,8 metros de largo. ¿Cuánto medirá la
sombra de una persona de 2 metros de alto a la misma hora?.
4. En un plano de una casa a escala
1:50, el comedor mide 12 cm. por 15 cm. Determina las dimensiones reales del
comedor.
5. Se midió un terreno con una cinta
métrica trucada de 50 m, dando un área de 90 Ha. Posteriormente, el comprador
comprueba que la medida real de la cinta era de 49 m. ¿Será necesario volver a
medir el terreno?. Si el precio de la Ha era de $400.000, ¿en cuánto se
pretendía engañar al comprador?
Teorema de Tales
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Ejercicios:
Para aprender más...
Eratostenes y la medición del radio Terrestre
Triángulos
Definición: Porción del plano limitado por tres rectas que se intersecan una a una en puntos llamados vértices. Polígono de tres lados, tres ángulos y tres vértices.
Los triángulos
son los únicos polígonos que no tienen diagonales.
A los triángulos también reciben el nombre de trígonos.
Clasificación
Puntos y Rectas Notables
MEDIANA: Es el segmento trazado desde un vértice al punto
medio del lado opuesto; Es el segmento de recta que une a un vértice con el
punto medio del lado opuesto.
BARICENTRO: Es el punto donde se cortan las medianas, es
decir, el punto donde está aplicado todo el peso de un cuerpo triangular.
MEDIATRIZ: Es la perpendicular trazada en el punto medio de
cada lado del triángulo.
CIRCUNCENTRO: Es el punto de intersección de las mediatrices
de los lados de un triángulo.
ALTURA DEL TRIÁNGULO: Es el segmento de recta perpendicular
trazada desde un vértice, al lado opuesto; Hay tres alturas, una
correspondiente a cada lado.
ORTOCENTRO: Es el punto donde se cortan las tres alturas del
triángulo.
BISECTRIZ: Es la semirrecta que divide al ángulo
en dos ángulos congruentes ó iguales.
INCENTRO: Es el punto de intersección de las bisectrices de
los ángulos interiores de un triángulo; Es el centro de la circunferencia
inscrito en un triángulo.
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un
triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos.
c2 = a2+ b2
Ejercicios:
Razones trigonométricas
Ejercicios:
En los siguientes ejercicios, dada la función trigonométrica, expresa las funciones restantes en
relación con el ángulo dado. Traza el triángulo rectángulo correspondiente y utiliza el teorema
de Pitágoras para localizar los valores restantes.
